Матцентр ФМЛ №239 · 2022

1. 1

   Поезд отправился из города С в 18:00 и прибыл в город М в 22:00. В пути поезд сделал одну остановку, а всё остальное время двигался с одинаковой скоростью. За первый час поезд проехал 180 км, за второй час — 150 км, а за третий час — 125 км. Найдите расстояние между городами.

   Ваш ответ (… км)
2. 2

   На олимпиаду пришли 300 участников. Каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Их рассадили за 150 двухместных парт и у каждого спросили, кто его сосед. Каждый ответил: «Лжец». Докажите, что участников можно так пересадить, чтобы каждый из них на такой же вопрос ответил: «Рыцарь».

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
3. 3

   На доске записан длинный ряд из нулей и единиц. Саша заметил, что единица идёт после нуля ровно 16 раз, семь раз 0 идет перед 11, и восемь раз 10 идёт после 0. Какими могут быть две последние цифры в этой последовательности? (Не забудьте объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

   Ваш ответ (несколько чисел через пробел)
4. 4

   В полоске из 30 клеток каждая клетка покрашена в синий или красный цвет. За один ход можно одновременно перекрасить любые три клетки подряд (каждую — из синего в красный, или из красного в синий). Кроме того, можно одновременно перекрасить первые две клетки; наконец, можно одновременно перекрасить последние две клетки. Верно ли, что из любой исходной раскраски всегда можно сделать полностью красную полоску?

   Ваш ответ

   данет
5. 5

   Диме дали задание вырезать из клетчатого квадрата 19×19 двадцать девять клетчатых полосок 1×10. Верно ли, что в квадрате есть клеточка, которая останется нетронутой при любом таком вырезании?

   Ваш ответ

   данет
6. 6

   На столе лежат 18 одинаковых кусков сыра. Разрешается взять любой из них, разрезать на несколько (два или более) равных по весу кусков и положить их на стол. Далее снова можно взять любой из лежащих на столе кусков, разрезать его на несколько равных кусков, положить их на стол и т. д. Как таким путем нарезать сыр на 66 кусков, чтобы его можно было поровну разделить на 33 человек?

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
7. 7

   В озере живёт 400 рыб — караси, лещи, окуни и щуки. Ежегодно они устраивают бал-маскарад: каждый надевает маску рыбы другого вида (свою собственную маску надевать нельзя), причём два года подряд они одну и ту же маску не носят. Два года назад на балу было 120 «карасей» и 280 «лещей», год назад – 100 «карасей», 150 «окуней» и 150 «щук», а в этом году — 250 «карасей» и 150 «щук». Каких рыб в озере больше всего?

   Ваш ответ

   карасейлещейокунейщук
8. 8

   Сколько различных чисел, в которых не менее 149 цифр, можно получить, вычёркивая цифры из числа 22…233…399…9 в котором 99 двоек, 99 троек и 99 девяток?

   Ваш ответ

Ответы и отметки сохраняются только на этом устройстве. Разбор всех задач — ниже, под кнопками: он открывается по нажатию и только вошедшим.