Матцентр ФМЛ №239 · 2021

1. 1

   Классный руководитель провёл опрос среди учеников своего класса, и выяснил, что ровно у четверти из них дома живёт собака. При этом девочек и мальчиков, у которых живёт собака, среди учеников класса поровну. Кроме того оказалось, что собаку держит ровно одна пятая часть всех мальчиков класса. Сколько в классе учится девочек, если всего в нём 24 ученика?

   Ваш ответ (… девочек)
2. 2

   На каждой из двадцати пяти карточек записано по одному натуральному числу (среди чисел могут быть и одинаковые). Вася заметил, что число на любой карточке нацело делится на числа, записанные ровно на половине из оставшихся двадцати четырёх карточек. Докажите, что Вася где-то ошибся.

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
3. 3

   На столе стоят 100 гирек. Известно, что общий вес любых 50 гирек больше, чем общий вес любых 49 гирек. Докажите, что общий вес любых 49 гирек больше, чем общий вес любых 48 гирек.

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
4. 4

   В каждой клетке квадрата 11 × 11 стоит одно из натуральных чисел от 1 до 11. При этом в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух больших диагоналей все числа различны. Саша закрасил 10 клеток, расположенных под диагональю, идущей из левого верхнего угла в правый нижний. Докажите, что на закрашенных клетках не может быть 9 совпадающих чисел.

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
5. 5

   В строку выписано 160 чисел, каждое из них — 1, 2, 3, …, 18. Может ли оказаться, что любые два различных числа от 1 до 18 где-то в этой строке стоят рядом друг с другом?

   Ваш ответ

   данет
6. 6

   У Маши есть 100 одинаковых плиток 1 × 1, изображённых на рисунке слева. Она хочет замостить ими квадрат 10 × 10. При укладке плитку можно поворачивать. Когда все плитки были уложены, пунктирные линии образовали несколько путей (возможно, замкнутых). Какое наименьшее количество путей могло образоваться? Например, на рисунке справа в квадрате 4 × 4 образовалось 9 путей.

   
   Ваш ответ (… путей)
7. 7

   У Димы есть 201 одинаковая по внешнему виду монета: 100 фальшивых и 101 настоящая, причём фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих, которые тоже весят одинаково. Ещё у Димы есть прибор, который по двум положенным в него монетам определяет, равны монеты по весу, или нет (но не показывает, какая меньше). Дима выбрал одну монету. Как он может установить, является ли выбранная монета настоящей, если прибор после сотого использования выходит из строя?

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
8. 8

   В магазине продаются бумажные полоски из 100 клеток, в каждой клетке которых записана одна из цифр 1, 2 или 3. Две полоски называются похожими, если эти два 100-значных числа при наложении совпадают более чем в 50 местах. Сергей купил в магазине восемь полосок. Докажите, что он сможет сам заполнить ещё одну полоску из 100 клеток цифрами 1, 2 и 3 так, чтобы она не была похожа ни на одну из его восьми полосок.

   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.

Ответы и отметки сохраняются только на этом устройстве. Разбор всех задач — ниже, под кнопками: он открывается по нажатию и только вошедшим.