Матцентр ФМЛ №239 · 2020

1. 1

   В степи растут дуб, тополь и липа. От дуба до ближайшего из двух других деревьев 2 км, от липы до ближайшего из двух других деревьев 3 км. Каким может быть расстояние от тополя до ближайшего из двух других деревьев? Перечислите через точку с запятой все возможные варианты. Ответы указывайте в метрах. Обоснуйте почему другие ответы невозможны.

   Ваш ответ
2. 2

   В детский сад ходят 100 девочек. У Маши есть 100 конфет, а у остальных девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по одной конфете любым двум другим девочкам. Можно ли сделать так, что все конфеты окажутся у Светы?

   Ваш ответ

   данет
3. 3

   Каждую грань большого кубика разделили на 4 квадратика. Квадратики называются соседними, если у них есть общая сторона. Например, на рисунке квадратики А и В соседние, квадратики В и С тоже соседние. Каждый квадратик покрасили в один из трёх цветов: синий, жёлтый или красный. При этом любые два соседних квадратика оказались разного цвета. Докажите, что синих квадратиков оказалось ровно 8.

   
   Решил(а) и рассказал(а) решение вслухНа олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
4. 4

   26 школьников класса (13 мальчиков и 13 девочек) выстроились в ряд по убыванию роста (слева — самый высокий школьник класса): МММДДМММДДДММДДДДДММММДМДД. Могут ли они образовать 12 пар для танца так, чтобы в каждой паре мальчик был выше девочки?

   Ваш ответ

   данет
5. 5

   Шахматный король хочет обойти все клетки доски 10 × 10 по одному разу (начав с какой-нибудь клетки и закончив на какой-то другой). Сможет ли он сделать это, если будет чередовать горизонтальные ходы с вертикальными (и не будет делать диагональных)?

   Ваш ответ

   данет
6. 6

   Леша позвал на день рождения трёх гостей. Войдя в комнату, гости увидели на столе торт, как-то разрезанный на 10 кусков. Верно ли, что какими бы ни были эти куски, Леша сможет выбрать один из них, разрезать его на три части и получившиеся 12 кусков раздать трём гостям поровну?

   Ваш ответ

   данет
7. 7

   Можно ли расставить числа от 1 до 2222 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

   Ваш ответ

   данет
8. 8

   На прямой отмечено 20 точек. На каждой из отмеченных точек написана сумма расстояний от неё до всех остальных отмеченных точек. Могут ли написанные числа быть двадцатью последовательными целыми числами в каком-то порядке? (Расстояния между точками — не обязательно целые числа).

   Ваш ответ

   данет

Ответы и отметки сохраняются только на этом устройстве. Разбор всех задач — ниже, под кнопками: он открывается по нажатию и только вошедшим.